[内容提要] 根据北斗七星的自行和黄道岁差等天文学规律，经用微电脑作图和数值分析比较，所得的结论为：濮阳西水坡第45号墓的星象为距今(133000±1000)年前春分日落时的星象。其星象年代下限为距今十万年前，上限为十六万年前。测得该星图的基本天文学参数是：其北赤极的天球坐标为黄经136°，黄纬是66.5°；春分点的坐标是黄经46°黄纬0°（采用公元2000.0年历元）。墓中的蚌塑三角形北斗魁当然是人类最早的天文观测记录，也是人类最早的科学观测记录。
一、西水坡第45号墓的两种天文学解释
自 1987 年五月在河南省濮阳市西水坡发现了仰韶文化遗址後，引起了广泛的注意。图一是遗址的第45号墓平面图（该图已载於前文）。这里首先要考虑的是墓葬中的形制和摆塑、墓主和殉人、特别是其中的蚌塑直角三角形斗魁能给现代人类带来甚麽重要的新信息呢？
1990年，冯时先生已在《文物》月刊第三期和《自然科学史研究》季刊第二期发表了他对西水坡第45号墓的天文学研究①②。他认为：墓形为一盖图；墓南的圆弧形墓壁为春秋分日道中衡；东西两侧的蚌龙和蚌虎，为星空东宫苍龙和西宫白虎之象；墓主脚下的蚌塑三角形为北斗魁等等….。对这些正确的解释，笔者深为赞佩。但据我近几年来研究，也得到若干与冯氏不同的解释。为了区别，称此为第45号墓的第二天文学解释。显然，冯时先生的第一解释是基础，而第二解释则是对前者的发展、补充和精确化、数量化。
这两种解释的主要区别在于前者认为:『公布该遗址的碳14数据(《考古》1989年12期) 年代为距今 5800±110(3850 BC), 树轮校正年代为距今 6460±135(4510 BC)，与我们据星象推算的年代一致』。就是说，墓中的星象年代就是距今六千五百年前的建墓年代。
而第二天文学解释则是根据现今《天文年历》所载的北斗七星的视位置数据和天文学中的岁差和恒星的自行原理，按公式用微电脑计算出过去八万年到十八万年前北斗七星的视位置坐标，再用微电脑画出此期间的几幅北斗形状图，然後与墓中的蚌塑北斗进行形状比较和数值分析比较；并测算了墓中星图的基本参数。经此计算分析後的结论是：第45号墓所表现的是距今约十三万三千年前春分日落时的星象。
读者必定会问，六千五百年前的濮阳人怎麽会知道十三万三千年前的星象呢？对此问题我将另文解释。本文仅仅是根据已有的考古事实及应用有关的天文学知识和数学方法并借助电子计算机，先来推算第45号墓的星象年代。
由于Ｍ45墓的建墓年代正是所谓传说中的『伏羲时代』，故本文称墓中星图为『伏羲星图』。又根据《尚书·顾命》所云『天球、河图在东序』，姑且先假设此星图即为这种古代石刻『天球』的平面化，故本文亦称此星象年代为『古天球』的刻制年代。
二、先从蚌塑三角形北斗魁谈起
『北斗』一辞来自作为斗魁的四颗亮星组成中国传统的斗形，六、七千年前的仰韶文化时期的北斗是什麽形状呢？北斗魁成墓中蚌塑直角三角形又是什麽时代的星象呢？这就是本文首先要研究的重点问题。
据本人计算，七千多年前的北斗七星的形状如果只凭肉眼观察的印象，几乎和现在的北斗没有多大的差别。图二中的虚线就是七千二百年前（5200 BC）北斗七星，而细实线则是现在的北斗七星形状图，二者都几乎完全重合，也几乎看不出什麽差别。那时的斗魁根本不是三角形，由此可以断定墓中的星象根本不是建墓年代即公元前 4510 年左右的星象。
那麽墓中的蚌塑三角形北斗魁又是何时的星象呢？
为了便于读者自己去作出结论，现用微电脑绘出从距今八万一千三百年前到十八万五千三百年前的北斗七星形状图五幅，每隔二万六千年一幅，即图三。由图三可看出在这十万零四千年间北斗七星形状的变化过程。不难看到，在距今约十万年前以後和在距今约十六万前以前的北斗魁形状，都与墓中的蚌塑北斗魁已明显不同。于是可以初步确定墓中的三角形北斗魁的星象年代下限为距今十万年前，其上限为距今十六万年前。
由于十八万年前北斗魁的形状已与墓中蚌塑北斗魁相差太远，比较接近墓中蚌塑三角形北斗魁的就只有距今107300 年前、133300 年前和157300 年前三种年代了。为了便于比较，将这三幅不同年代的北斗七星，将图附于第45号墓平面图的下方。读者可用半透明的描图纸描摹出这些北斗图，然後分别重叠在蚌塑北斗魁上反复比较。这种方法称为描摹重叠比较法，简称重叠法。经用重叠法比较後，读者就会发现，以距今 133300 年前的北斗魁最接近蚌塑北斗魁的形状，而且天权星Ｑ正在平行于两胫骨的中间线的西端点。
当然这样比较只能定出大致的年代，就是说，墓中的蚌塑北斗七星图案大约是十三万多年前的星象。其更精确的年代和以上微电脑作图的根据和原理，将在下文论及。 二、先从蚌塑三角形北斗魁谈起 『北斗』一辞来自作为斗魁的四颗亮星组成中国传统的斗形，六、七千年前的仰韶文化时期的北斗是什麽形状呢？北斗魁成墓中蚌塑直角三角形又是什麽时代的星象呢？这就是本文首先要研究的重点问题。 据本人计算，七千多年前的北斗七星的形状如果只凭肉眼观察的印象，几乎和现在的北斗没有多大的差别。图二中的虚线就是七千二百年前（5200 BC）北斗七星，而细实线则是现在的北斗七星形状图，二者都几乎完全重合，也几乎看不出什麽差别。那时的斗魁根本不是三角形，由此可以断定墓中的星象根本不是建墓年代即公元前 4510 年左右的星象。 那麽墓中的蚌塑三角形北斗魁又是何时的星象呢？ 为了便于读者自己去作出结论，现用微电脑绘出从距今八万一千三百年前到十八万五千三百年前的北斗七星形状图五幅，每隔二万六千年一幅，即图三。由图三可看出在这十万零四千年间北斗七星形状的变化过程。不难看到，在距今约十万年前以後和在距今约十六万前以前的北斗魁形状，都与墓中的蚌塑北斗魁已明显不同。于是可以初步确定墓中的三角形北斗魁的星象年代下限为距今十万年前，其上限为距今十六万年前。 由于十八万年前北斗魁的形状已与墓中蚌塑北斗魁相差太远，比较接近墓中蚌塑三角形北斗魁的就只有距今107300 年前、133300 年前和157300 年前三种年代了。为了便于比较，将这三幅不同年代的北斗七星，将图附于第45号墓平面图的下方。读者可用半透明的描图纸描摹出这些北斗图，然後分别重叠在蚌塑北斗魁上反复比较。这种方法称为描摹重叠比较法，简称重叠法。经用重叠法比较後，读者就会发现，以距今 133300 年前的北斗魁最接近蚌塑北斗魁的形状，而且天权星Ｑ正在平行于两胫骨的中间线的西端点。 当然这样比较只能定出大致的年代，就是说，墓中的蚌塑北斗七星图案大约是十三万多年前的星象。其更精确的年代和以上微电脑作图的根据和原理，将在下文论及。
三、计算和作图的根据、原理及步骤
图三中的五幅星图是根据北斗七星的自行（Proper Motion）推算出其过去的视位置而绘得的。原始数据取自中国科学院南京紫金山天文台编的《一九八二年中国天文年历·恒星视位置表》。具体计算步骤是：
第一步是将表中的北斗七星在 1982 年和 1983 年的平均视位置的赤道坐标用球面天文学公式全部换算成黄道坐标。这些公式是：
sinｂ＝ cosεsinβ－sinεsinαcosβ …………………..( 1.1 )
cosεsinαcosβ＋sinεsinβ
sinａ＝─────────────── ………………..( 1.2 )
cosｂ
式中的 α 和 β 分别表示赤经和赤纬，这些数据均由上述恒星视位置表中查出。ａ和ｂ分别表示恒星的黄经和黄纬，这些计算均由微电脑来完成。
ε 为现代天球的黄赤交角，按公式
ε＝23°27’08”.26－0”.46845(ｔ－1900) …………………( 2 )
可算得 1982 年的黄赤交角 ε＝23°26’29”.85 。
第二步是将 1983 年每颗星的黄经、黄纬减去 1982 年的黄经、黄纬，保留其黄纬差，这就是恒星的黄纬自行。
第三步是按黄经岁差公式：
ｐ＝50”.2564－0.000222(ｔ－1900) ……………………….( 3 )
算得 1982 年的黄经岁差 ｐ＝50”.2746 。
( 2 )、( 3 ) 两式中，ｔ 均为《天文年历》的公元纪年，这里 ｔ＝1982 。
然後将以上所得的黄经差再减去 1982 年的黄经岁差，这就得到了恒星的黄经自行。
所得数据都列入『表一、北斗七星的视位置与自行』中。这样就可以根据表中的数据，用本文後面的方法，计算北斗七星在任何年代的视位置。表中还列出了距今十三万三千三百年前（131300 BC）北斗七星视位置的黄、赤坐标。请读者查阅。
表一『自行』栏内各项数据的运动学意义是：黄经或黄纬的自行表示恒星每年在经向或纬向移动的角秒数，它为正值是指随着时间的推移，其黄经、纬度数增加，负值则相反。在北斗七星中，除天枢星和摇光星的自行为负外，其余的全都为正，且以经向运动为主。从天璇星到开阳星，其黄经度数及黄经自行都逐星增加。这表示中间的五颗星随着时间由过去向现在的推移彼此间正在经向拉开距离。就是说，在十多万年前，在经向上它们比现在更为互相靠近。过去斗魁中天权与天璇、天玑之间的经向距离也比现在近。天枢星则是以向低纬度运动为主，它的位置对北斗魁的形状起重要作用，十三万三千年前，它的纬度更高，更接近北极，就是说，过去的斗魁比现在的要『瘦长』。它也是三角形北斗魁指向北极的尖端。当时的人类为了寻找北极的位置，自然就要注意到这个三角形北『斗魁』的尖端了。
表一中还有一项恒星自行速率 Ｚ，其定义是：
Ｚ＝√Ｚj２＋Ｚw２ ……………………………..( 4 )
其中Ｚj 和Ｚw 分别为黄经自行和黄纬自行。Ｚ是没有正负方向的标量，它表示垂直于观测者的视线每年移动的角秒数。如果恒星自行的量值和方向不随时间改变，则经过一定年代後各恒星的视位移（移动的视角）应与其自行速率Ｚ成正比例。
由表一可看到在北斗七星中，自行速率最慢的是天璇星Ｘ，每年移动 0.1角秒；最快的是开阳星Ｋ，每年移动 0.21 角秒；次快的是摇光星Ｇ，每年移动 0.20 角秒。但後二星的自行符号相反，就是说它们正在相对而行，较快地互相靠近，所以十三万年前，开阳星Ｋ和摇光星Ｇ间的视距离比现在要远得多。
四、计算北斗七星在指定年代视位置的方法
计算过去十几万年前北斗七星的视位置，不能用其现黄经减去距今年代与其黄经自行的乘积的简单方法来求得。这是因为黄经自行量是随纬度而变化的；相同的弧长，纬度越高，跨的经度也越大。而更重要的是，高纬度天区的黄纬圈与天球的大圆相差太远，而恒星的自行是垂直于观测者的视线而运动就是沿天球大圆而运动的。如果按以上简单方法计算恒星在某视位置的年代，必然导致将恒星作一定弧度的位移的时间计算得太长，这会导致将斗魁成蚌塑三角形的年代计算得太久的错误。而且，按此简单方法算得的恒星在一定年代内的位移不与自行速率Ｚ成正比例。作者经多次验算後，认为不宜采用此法。
比较接近恒星的实际自行运动，误差较小而又比较简便的计算高纬度恒星在某年代视位置的方法是：先将恒星的黄道坐标和自行都变换成平面直角坐标，然後再进行计算。在一片不大的高纬度天区内，与天球相切的平面上的直线，可近似地视为天球的大圆。这样计算所引起的误差，也在可接受的范围内，也便于用电脑作图。
为了便于作图，将现代天球的黄经 190°线作为横坐标（Ｘ轴），将黄经 100°线作为纵坐标（Ｙ轴）。则高纬度恒星的黄道坐标变换成平面直角坐标的公式为：
Ｘ＝（９０－ｂ’）cos Ｇ …………………………..( 5.1 )
Ｙ＝（９０－ｂ’）sin Ｇ …………………………..( 5.2 )
Ｇ＝１９０－ａ’…………………………………..( 5.3 )
上式中的 ａ’和 ｂ’分别是现在恒星的黄经和黄纬。如以 Ｚx、Ｚy 分别表示恒星在Ｘ、Ｙ 方向的自行，以 Ｚj、Ｚw 表示其黄经、黄纬自行，则可得：
Ｚx＝Ｚw cos Ｇ－Ｚj sin Ｇ ………………………..( 6.1 )
Ｚy＝Ｚw sin Ｇ＋Ｚj cos Ｇ ………………………..( 6.2 )
恒星在距今 Ｔ 年前的视位置的直角坐标是：
Ｘ＝Ｘo＋Ｔ·Ｚx ………………………………….( 7.1 )
Ｙ＝Ｙo＋Ｔ·Ｚy ………………………………….( 7.2 )
前式中 Ｘo，Ｙo 为恒星现在视位置的直角坐标。
由于平面直角坐标是一般电脑绘图的基本坐标，这时就可以将指定年代的北斗七星的视位置按上式所算得的数据画在纸上。图三的几幅不同年代的北斗七星形状图就是这样在纸上先标出其直角坐标位置，然後用直线连成的。
如果还要算出北斗七星在现代天球上黄道坐标，则还要经过变换，其公式是：
ａ＝１９０－arc tan（Ｙ／Ｘ）……………………….( 8.1 )
ｂ＝９０－√Ｘ２＋Ｙ２……………………………..( 8.2 )
上式中的 ａ 和 ｂ 就是距今 Ｔ 年前恒星的黄经和黄纬。表一中十三万三千三百年前北斗七星的视位置即由此算得。由以上公式通过简单的数学推算就不难证明，按此法算得的恒星在一定年代内因自行而引起的其视位置移动的视距离，即此两点间的视角ｌ（以下简称位移）总是与该恒星的自行速率Ｚ成正比例③。
以上计算都是假设在所计算的年代内，恒星的自行是不变的，也没有考虑球面与平面互换时所引入的误差。当然，在计算低纬度恒星的位置移动时，就不需要用这种方法了。
以上全部计算、绘图和下节将论及的蚌塑北斗魁与电脑计算斗魁的数值分析比较均已编成程序，用电脑来完成全部作业。
为了研究北斗七星的自行，我还参阅了几份有关资料，其结论都与本文的基本相同，其中最具有权威性的是１９８０年１２月出版的《中国大百科全书·天文学》『北斗』条所载：『由于恒星自行的缘故，北斗七星的形状随时间发生缓慢的变化』。现将其所附『北斗七星由于自行引起的形状变化』图描摹如图四，并附于图一的右下角，读者可与图一或图三中相近年代的北斗七星形状图比较，一望而知，用本文上述方法所绘制的十万零七千年前的北斗七星形状与附图中的十万年前的北斗形状非常接近。可见，用上述北斗七星视位置的计算方法所引起的误差，不会导致本文基本结论的严重失真，就是说第45号墓的星象年代不会晚于距今十万年前，这是本文所推定的年代下限。
图五是将十三万三千三百年前的北斗七星、现在的北斗七星及黄道坐标线画在同一张图上，十三万年前的用虚线连接，现在的用实线连接。图中的字符，Ｓ、Ｘ、Ｊ、Ｑ、Ｈ、Ｋ、Ｇ分别表示十三万年前的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光各星；并用Ｓ’、Ｘ’、Ｊ’、Ｑ’、Ｈ’、Ｋ’、Ｇ’分别表示现在对应的北斗七星。
图中箭头所指的方向，是恒星自行的方向，由过去指向现在；箭头线的长度，表示在这十三万三千年期间恒星的位移，它与该星的自行速率 Ｚ 成正比例。
图五中的网格状虚线，集中指向一点（北黄极）的直线是黄经线，以北黄极为圆心成同心圆状的弧线为黄纬线，其经、纬度数均标于线端。由于电脑绘图有一定的误差，其精确值以表一所列的数据为准。本图仅供读者获得直观形象之用。
五、电脑计算北斗与墓中蚌塑北斗的数值比较
细看墓中的北斗就可发现以下特点：
一、蚌塑斗魁大体成直角三角形，北面的直角边ＸＪ最短，本文称此为三角形北斗魁的『勾』；东面和两根胫骨相接的直角边ＳＪ称为『股』；西面蚌塑直角三角形的斜边ＳＸ称为『弦』。天玑星Ｊ是直角点，即∠ＳＪＸ接近９０°，或ＳＪ与ＪＸ几乎互相垂直。
二、天权星Ｑ 在两根胫骨中间线的西端点，但并不在 ＳＪ直线上，而在ＳＪ略东。且ＳＱ与ＪＱ之比经实测约为３:２。
三、将两根胫骨平行地并摆成直线，而不是串摆成六千五百年前斗杓或斗柄已成明显的折线。这说明墓中北斗的年代是斗杓为直线的年代。就是说，当时的Ｑ、Ｈ、Ｋ、Ｇ四颗星大致成一条直线，由图三可看到，这也是距今十万年到十六万年前的事。
四、蚌塑斗魁三角形的尖端天枢星Ｓ指向墓心Ｐ点，即指向天北极。由墓图和『标有十三万三千年前北斗七星的现代北天星图』上也可看到，Ｓ是北斗七星最接近当时天北极的一颗星，因而叫天枢。可以想象，十三万年前的人类已很注意它了。
这四个特点也是确定墓中北斗星象年代的参照条件。仅从斗魁为三角形及斗杓为直线这两点就足以证明墓图所示的星象年代决不是建墓时的六千五百年前，而是比建墓年代要早十万年以上。但是第45号墓中的星象图并不全是某一年代实际星象的机械描绘，而是远古人类观测星空後被抽象了的宇宙观的反映，就是说，这幅星图是经过人类思维加工的。因此不可能找到某一年代的实际北斗形状与墓中的北斗完全相同，例如任何年代的实际斗杓的视距离与『勾』之比都不可能等于墓中的此二者之比。
这就只好先用斗魁的形状作比较了。请读者再参阅图一蚌塑北斗及图下所附的三幅用电脑所绘的不同年代的北斗图。为了便于比较，已使图中不同年代的『勾』ＪＸ与墓中蚌塑斗魁的『勾』大体相等，因此这三幅图的比例尺是不相同的。
先看距今107300年前的北斗图，很明显，斗魁太短太胖了，用重叠法与墓中蚌塑斗魁比较，可明显的看到墓中蚌塑斗魁的尖端Ｓ突出在电脑所绘的斗魁之外，这说明墓中蚌塑斗魁的年代应早于距今十万零七千多年前。
再看距今159300年前的北斗图，一望而知，这时的斗魁正好成直角三角形，且天枢星Ｓ、天权星Ｑ和天玑星Ｊ成一直线，构成了直角三角形的『股』，且天玑星Ｊ正是直角点。但天权星Ｑ却不能与两胫骨中间线的西端点重合。用重叠法比较时还会发现电脑所绘北斗图的天枢星比墓中蚌塑北斗魁的尖端Ｓ还要长，即 159300 年前的北斗魁又比墓中的蚌塑斗魁『瘦长』，即墓中的北斗星象年代还不到是十六万年前。
一望而知，电脑绘的距今 133300 年前的北斗魁最接近墓中蚌塑斗魁。当用重叠法比较时，可看到Ｓ、Ｘ、Ｊ、Ｑ四点都重合得较好，而且Ｑ点正与两胫骨中间线的西端点重合。读者也可用一张半透明的白纸蒙在蚌塑斗魁上，描出Ｓ、Ｘ、Ｊ、Ｑ四点，其中Ｑ点是两胫骨中间线的西端点，Ｓ、Ｘ、Ｊ为蚌塑三角形的顶点。然後将这四点用直线连接成一个接近直角三角形的四边形，拿这个四边形再与电脑绘的 133300 年前的北斗魁重叠比较时就会看到这两个四边形几乎全等或相似。由此可断定墓中蚌塑北斗最接近十三万年前的星象。
为了将这种形象的比较提升到更精确的数值比较，作者对墓中的蚌塑北斗魁和上述三种年代斗魁的数据进行过测量和用电脑作过数值分析比较，这些数据均列入『表二、墓中蚌塑斗魁与几个年代斗魁的数值比较表』中。
先将表二中的各项数据的意义解释如下：
一、北斗魁接近直角三角形时的弦勾比，即 ＳＸ／ＸＪ，此比值越大，斗魁的形状就越『瘦长』，其星象年代也越久。
二、斗魁的股勾比：ＳＪ／ＸＪ，此比值对斗魁形状及其星象年代的影响同上。
三、天权星的枢玑比：ＳＱ／ＪＱ，由墓中蚌塑斗魁测量，此比值大约为３：２，而时间越古老，此比值也越大。以上三项比值都与Ｓ有关，都是随年代的古老而增大。这是由于天枢星Ｓ的自行是以向低纬度运动为主的结果，即年代越古老，Ｓ的纬度也越高，Ｓ与斗魁的其它恒星的纬向视距离也越远，斗魁的形状看起来也越『瘦长』。
四、天权星的璇玑比：ＸＱ／ＪＱ，此比值越大，斗魁就越『短胖』，其星象年代也越晚。这是由于Ｘ、Ｊ、Ｑ三星的自行都是以经向运动为主，不断地在经向拉开距离；所以年代越近，ＸＱ的视距离也越大，斗魁的形状就越显『短胖』。在斗魁四边中，天权星与天玑星的视距离ＱＪ最短，且随时间的变化率也最小，即ＱＪ距离的变化最慢。
五、天玑星的直角率：ＳＸ／√ＪＸ２＋ＳＪ２，此值是检测北斗三角形的∠Ｊ接近直角的程度，当它等于１时为直角，小于１时为锐角，大于１时为钝角；此值偏离１越远，则∠Ｊ也离开直角也越远。
表二中蚌塑北斗魁的数据是由第45号墓平面图直接测算而得；几种不同年代斗魁的各项数据则是根据表一中的自行数据和用以上算法和程序算得的该年代的位置坐标，再用解析几何学的方法用电脑计算出各项比值。
由表二的数值比较也可得到同样的结论，即距今十三万三千年三百年前的北斗星象最接近濮阳西水坡遗址Ｍ54号墓中的蚌塑北斗魁。
那麽为何要用这几种年代的北斗星象来比较呢？这是由墓中星图天北极的黄道坐标位置决定的。关于此点，即将在下两节说明。
六、蚌塑北斗三角形与天北极的数学关系
由初等几何学可知，由一段圆弧就可确定其唯一的圆心。又根据冯时先生对第45号墓的第一天文学解释，墓主南面的弧形墓壁，即圆弧ＡＥＡ’是盖图的中衡，也就是春秋分日道。由此不难全部画出此圆并确定其圆心，且圆心就是星图的北极。
从作者已加绘了几何图线的墓平面图看，表示中衡的弧形墓壁ＡＥＡ’ 的圆心Ｐ点（以下简称墓心），正在墓主骨盆的左坐骨处，这点也是墓主身长的中点。这是该墓设计者寓意深刻的精心设计和安排。显然这象征墓主的中央地位。孔子说：『为政以德，譬如北辰，居其所而众星共之』。意指帝王如北极星在天的中央，其地位是固定不变的，而天空其他的一切日月星辰和人间的臣民都以他为中心旋转。《史记·天官书》说：『斗为帝车，运于中央，临制四乡』。也说明站乘于『斗车』上者必为帝王。此其寓意之一也。其二，坐骨处正是人类的生殖器所在，将阴茎置于天北极是古代人类男性生殖崇拜的表现。此二者都是中华传统文化中崇天拜祖的根源。由此可推断墓主生前是一位六千五百年前的帝王，他只可能是『百王先首』或三皇五帝之首的伏羲氏太昊帝。对此我将另文详论之。
值得注意的是，墓心定得非常精确。整个墓室形制和星象图案布置的精确度是令人吃惊的，这在下文中将会看得更为明显。其精度使我确信，Ｍ45的建设者如不使用必要的测量工具、不具备基本的几何学理论知识和数值计算能力，是不可能制成如此精确的墓室，也不可能将墓主的坐骨如此精确地安放在中衡的圆心，更不可能摆成如表二数据所示那样精确的北斗魁图案。因此有理由认为，汉代石刻画和唐代丝绢画中描绘的伏羲和女娲手执规矩准绳是有根据的、可信的。更有理由认为《管子·轻重戊》所云『宓戏作造六法以迎阴阳，作九九之数以迎天道，而天下化之』；刘徽在《九章算术·序》中所云『昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变』是有根据的、可信的。显然，这就涉及到一个自然科学史和人类文明史上的重大问题，即何时何人首先具备这些几何知识和数值计算能力，并使用圆规、矩尺、圭表和绳等工具来进行天文测量和地面实用的几何测量及进行如比率这类复杂数值计算的？对此，作者将另文论述。
但更令人惊讶的是墓中的蚌塑三角形北斗图案与墓心的几何关系，也与由电脑算得的十三万三千年前的北斗七星与天北极的星象关系完全相符。由墓图不难看出，将两胫骨中间的线段ＱＧ的中垂线南延通过墓心Ｐ，即若Ｋ为ＱＧ的中点，则ＰＫ为ＱＧ的垂直平分线。由于ＰＫ及其延长线穿过墓主人的全身，又通过天北极，故称ＰＫ为第45号墓的『人轴』。由墓图还可求得：从ＸＪ的中点Ｉ作直线ＩＳ并延长亦通过Ｐ。此图的含义是，自古开阳星作斗柄的垂线（十三万年前Ｑ、Ｈ、Ｋ、Ｇ为直线），再从连接古天璇星Ｘ和古天玑星Ｊ的线段ＸＪ即『勾』的中点Ｉ作与古天枢星Ｓ的连线并向南延长，则此二线的交点就是北极。我认为，这很可能是十三万三千多年前的先民寻找天北极的方法之一。为了验证这种方法，作者在一幅历元为公元 2000.0 年的北天星图上，按表一的坐标数据绘出了十三万三千三百年前的北斗七星图（请参看图六）。并按上述原理作图如下：
一、找出ＸＪ的中点Ｉ，这一点与现在的天璇星Ｘ’很接近，可近似地将Ｘ’看作Ｉ。
二、作直线ＩＳ并向Ｓ方向即三角形北斗魁的尖端古天枢星的方向延长。
三、自古开阳星Ｋ作ＫＧ或ＱＧ的垂线，使与ＩＳ的延长线相交于Ｐ。
结果奇迹出现了！Ｐ点正落在 66.5°黄纬圈上。用量角器测得Ｐ点的黄经约为 136°。
众所周知，66.5°黄纬圈是赤极移动的轨迹。现在的赤极在黄经90°。大约每72年赤极在此黄纬圈上移动黄经１°，这就是黄经岁差。依此不难计算北赤极在黄经 136°的年代为距今 3312 年前，考虑到误差的存在，将此年代定为公元前1300年，这大概是殷商盘庚到武丁的年代。虽然史学家对商代的纪年至今尚无定论，但将此时代视为商代中後期，即正值甲骨文的兴盛时期是没有问题的。
依赤极在黄经 136°不难算得其春分点在黄经46°，黄纬０°。按黄赤坐标变换的公式计算，其春分点为今赤经 2h54m，赤纬 13°38′，这点正在白羊座(Aries)内，在中国传统星图上属西宫白虎之胃宿，即春分日躔胃宿。由墓平面图可明显地看到，通过北极Ｐ点的东西向墓轴正穿过西侧蚌虎的胃部，说明其春分点确实在西宫白虎之胃宿。而春分点在西宫白虎之胃宿的年代也是正在商代中後期。
显然这比用碳14测定并经树轮校正的建墓年代，即公元前 4510 年晚了三千二百年。这就是说，如不计恒星的自行而只计岁差，则墓中星象年代要比建墓年代晚 3200 年。而六千五百年前的濮阳人是不可能按照其 3200 年之後的星象去建墓的。
春分日躔点所在的胃宿正在墓轴所指的正西方，说明这正是日躔胃宿的春分时节，太阳正在西方的地平线上。再根据以上对蚌塑三角形北斗魁分析的结论，就可认定，第45号墓星图所表现的是十三万三千年前春分日落时的星象。
由墓中蚌塑龙虎图案的位置也可推知，墓中北极所在位置的年代不是建墓年代。因为按岁差计算，建墓时的 6500 年前即所谓传说中的伏羲时代的北赤极约在现黄经 180°处，即北极还要在66.5°黄纬圈上顺时针转动约４４°，由星图看，建墓时代的北极在紫微左垣的左枢星【西人称为 ιDraco（天龙座ι）星】附近，此即图六中的 Pm 。而 6500 年前则是春分日躔参宿。
如果墓中星象是按建墓时的实际星象布置的，则黄图画即墓中的蚌塑星象图还要按反时针方向旋转44°，这样老虎的尾巴就要打在墓主的头上，龙头也要触断墓主的脚了。这样一来，西宫白虎也不在正西方而在西南方了；而东宫苍龙也不在正东方而在东北方了。这时墓轴正西所指的就应为蚌虎的嘴（觜）部附近，这成何体统？更重要的是，这就完全被破坏了墓中蚌塑北斗与天北极的位置关系。这种建墓年代与墓中星象年代的矛盾，可简称为Ｍ45矛盾。其解决办法将另文论及。
七、十三万三千年前的先民测定北极位置的又一方法
如果说以上确定北极的方法太复杂，对十三万年前的古人来说，可能是不可思议的话，那么在Ｍ45墓平面图和标有 133300 年前北斗七星的现代星图上还有另一种更简单的根据当时三角形北斗魁来寻找天北极的方法就更适合那时人类的认识水平了。
如以蚌塑三角形北斗魁东面的两胫骨中间线的西端点为天权星Ｑ，则由第４５号墓平面图一可以看到，ＪＱ延长线也通过墓心Ｐ点，而Ｐ也正是十三万三千年前的北极。令人惊奇的是，在标有 133300 年前北斗七星的现代星图（图六）上也可用同样的方法获得同样的结果，即从古天玑星Ｊ到古天权星Ｑ的直线ＪＱ的延长线也通过Ｐ点。我认为这又是十三万三千年前居住在黄河流域的先民寻找天北极的又一方法。
这与现代人寻找北极的方法很相似。现在一般是从天璇星Ｘ’ 出发，向天枢星Ｓ’ 画直线并延长约五倍，这大约就是北极了。现代人类很幸运，在非常靠近北极的地方，有一颗明亮的北极星，在中国传统星图上，称之为勾陈一，西人称之为 α Ursa Minor （小熊星座甲或α星）。
在十三万三千年前，我们的祖先寻找北极最方便的方法是从三角形斗魁中的古天玑星Ｊ出发，向天权星Ｑ画直线并延长五倍，这大约就是当时的北极。那时的先民不如我们这样幸运，没有一颗亮星象现在这样靠近北极。但是为了便于在夜空中进行观测和辨认方向，还是需要在北极附近找一颗亮星来充当北极星。从现代星图及按恒星的自行推算看，无论是距今三千多年前，或十三万二、三千年前，只有紫微垣中的帝星能充当这一角色。在中国传统星图上，帝星又名北极二。《史记·天官书》所云：『中宫天极星，其一明者，太一常居也』就是帝星。故帝星又名太一或太乙。西人称此为小熊座β星（β UMi）。
根据《一九八二年中国天文年历·恒星视位置表》所列的帝星的坐标，用本文的方法和电脑程序不难计算它现在的黄道坐标为：黄经 133°03′46″,黄纬 72°59′10″。十三万三千年前它的视位置是黄经 123°01′，黄纬 75°06′。
根据这些数据就不难推算，最近一次（ｎ＝０［ｎ为春分点在黄道上或天赤极在66.5°黄纬圈上已绕过的整周数］）北极最接近帝星的年代是距今3100年前，这正是商代後期，这时帝星距北极约 6.5°。如将自行考虑在内，距今约 132400 年前（ｎ＝５），也是北极最接近帝星的时代，其间视距离约为 8.5°，与前者相差仅约２°，可见十三万二、三年前与三千多年前北极星的位置差别及它们与北极的距离的差别是很难用肉眼察觉的。
前已说明，北极Ｐ点在墓主的坐骨处，这一点的黄经是 136°，这在帝星附近。而按岁差计算，六千五百年前的建墓时代的北极在 Pm 点，其坐标约为黄经 180°，即在紫微左垣的左枢星(ι Dra) 附近，而不是帝星附近。由现代星图也可明显地看到,由今天玑星Ｊ′到今天权星的Ｑ′的直线Ｊ’Ｑ’所指，与左枢星相差甚远。以恒星的自行而论，在六、七千年间，恒星间的相对位置不会出现这样大的差别。这也说明了第45号墓所表现的不是六、七千年前的星象。这里又出现了建墓年代与墓中星象年代的矛盾。经对第45号墓中星象的全面分析後，所得的结论只能是：建墓所依据的不是建设西水坡仰韶文化遗址年代的实际星象，而是距今约十三万三千年前的人类在古天球上刻制的天象。
由此亦可见『伏羲星图』的精确性！由初等几何学可知，IS、KP(两胫骨中间线QG 的中垂线)和JQ 三直线交于一点Ｐ已决不是随意偶然的安排，更何况Ｐ点既是圆EACFC’A’的圆心，又是墓主的坐骨所在。更重要的是，Ｐ点也是南北轴ＦＥ与东西轴ＢＢ’的正交点。而南北墓轴又是E、L、P、F、Q、J 和 P’七点共线，其中Ｌ为大圆弧 BALA’B’ 的中点，正在墓主的胸部，P’是此大圆弧的圆心。按盖天说，此大圆弧是青黄图画的分界线，P’为地中。
更令人惊讶的是，根据墓图实际尺寸的测算可得：
∠PP’B=∠PP’B’=arc tg(BP/PP’)=arc tg(1.79/4.02)=24°00′
这非常接近6510年前的黄赤交角24°17’。测算过程详见第二章第八节。
由此可推断P’还是六千五百年前的立表测天点。
无疑，这一切都是西水坡遗址设计者科学的精心安排。这也证明了Ｍ45墓的建设者不仅有丰富的天文学知识，而且有正确的数学知识，包括使用规矩准绳和圭表等实用测量知识及几何学中的作图推理及算术中的比率计算等理论知识。
但『伏羲星图』与标有 133300 年前古北斗七星的现代星图不仅有上述精确的几何一致性，也有明显的数量差别。在图六上测量，JP的视距离约为JQ的五倍(JP/JQ＝5); 而在墓平面图上测量，JP约为JQ的十倍(JP/JQ=10)。为何墓中星图与图六有这样大的差别呢？
由上文的原理和数据并用本电脑程序不难算得，在 133300 年前 JP/JQ＝4.99。但如将帝星在 133300 年前的位置记为 D，则 JD／JQ＝7.30。
如按 6500 年前的星象计算，其结果为: J’P／J’Q’＝4.64 和 D’J’/J’Q’＝6.03，与墓图上的测量的比值偏离更远，但更重要的是，6500 年前的北极已不是P ，而是 Pm，而且此时无论是D’（6500年前的帝星）、P 、或 Pm 都不在 J’Q’ 的延长线上。
可见墓主坐骨处的墓心Ｐ更接近 133300 年前古天球上的帝星的位置，而离那时的北极稍远，更不是 6500 年前的北极。古人类和现在普通人一样，在寻找北极时，先找北极附近的亮星。由此推测，十三万年前古天球上标的北极可能更接近当时的帝星(β UMi)。
八、Ｍ45星象年代的综合测算
如果星象年代的讨论只限于北极在66.5°黄纬圈上或春分点在黄道上未绕满一周，即在不超过二万六千年前范围内，则无法解决此问题; 但如综合三角形斗魁和北极的位置，并将时间推到它已绕过数周更遥远的古代，就可得到统一的、合乎逻辑的解决。
用北斗三角形所定的北极的位置来推算年代公式可写为：
ｙ＝２６０００ｎ＋７２（Ap －９０±ｄ）………………..( 9.1 )
式中ｙ为距今年数，ｎ为春分点在黄道上已绕过的周数，ｎ为正整数。式中７２为春分点在黄道上向西移动黄经 1°的年数。这实际上是将黄经岁差计为每年西移５０角秒。按公式（３）计算，这相当于公元７４５年即唐玄宗天宝四年的黄经岁差。
式中的２６０００是春分点绕黄道一周的年数，这里没有用黄经岁差公式（３），而是假设在所计算的时间内黄经岁差的平均值为 49.8461″，这相当于公元５０年即东汉光武刘秀时的黄经岁差。不难看出这两项同为黄经岁差数据间的矛盾。如果要保持黄经岁差数据的一致性，将黄经岁差都计为每年５０角秒，则应将公式（9.1）改写为：
ｙ＝２５９２０ｎ＋７２（Ap －９０±ｄ）………………..( 9.2 )
以上（9.1）与（9.2）两式并无实质的差别，但出于方便，文中还是以二万六千年春分点在黄道上绕一周的简单说法为多。
式（9.1）及（9.2）中的 Ap 表示用前述方法所测得的北赤极的黄经度数。现北极为黄经９０°，（Ap －９０）是古、今天赤极的黄经差，此值应小于３６０°。
式中ｄ是误差的总和，其单位为度，它包括测量误差、作图误差、理论误差及十三万多年前人眼观测的误差等；理论误差又包括球面变换成平面及没有用（２）和（３）式来计算十三万年前的黄经岁差和黄赤交角等所引来的误差。
这里将总误差估计为１４°，其理由是：一、在我所用的简单测量方法中，±１４°已足够大了。二、在此误差范围内，本文的各项论证和数据都适于第45号墓。三、当ｎ＝０时，因±１４°所引起的距今（３３００±１０００）年前的时间区间内，与已知的历史事实不矛盾。如春分点在西宫白虎之胃宿的年代为殷商中後期就在此段时间内。四、当ｎ＝５时，帝星或太一（β UMi）最接近北极星时，也在这段不超过两千年的时间范围内。
在这里还要申明：本文的一切数据都有误差，但只要没有被证实与已知的历史事实及考古事实相矛盾，并能解释第45号墓考古事实的，都可以接受。
前已量得 Ap＝１３６°，将此量与ｄ＝１４°代入（9.1）式的右边则第二项为：
（３３１２±１００８）年。最後两位数字没有实际意义，而本文的年代多以百年计，因此该项可写为（３３００±１０００）年。因此（９）式就变成了：
ｙ＝２６０００ｎ＋３３００±１０００………………..( 10.1 )
由前节讨论已确定ｎ＝５，这样就可得：
ｙ＝１３３３００±１０００（年）……………………( 10.2 )
即距今十三万三千三百年前的星象最接近Ｍ45墓中的各项数据。
但如果按严格的岁差一致性来说则应代入（9.2），可得：
ｙ＝１２９６００＋３３００±１０００（年）…………..( 10.3 )
上式右边的第一项即１２９６００年正是北宋《易》学家邵雍（1011－1077）的《皇极经世书》所谓的『一元』。因此上式也可解释成从天球的刻制年代至今已经历了『一元』又三千三百年；或者说从那时至今，北极已在66.5°黄纬圈上，或春分点已在黄道上绕了五周又经过了三千三百年。那时的北极在现代天球上的位置坐标是黄经 136°，黄纬66.5°，换算成赤道坐标是赤经１３ｈ２５ｍ，赤纬７２°０６′。
由于所取的角度测量误差为±１４°所导致的时间误差达一千年，按有效数字理论，则倒数第三位就没有实际意义了。依此，（10.2）和（10.3）式都变成:
ｙ＝１３３０００±１０００（年）……………………( 10.3 )
这就是本文所得之结论：西水坡Ｍ54号墓的星象是距今十三万二千年前到十三万四千年前（最接近133300年前左右）春分日落时的星象。
九、蚌虎胃部的『梅花』是春分日躔胃宿的证据
星图的春分点在西宫白虎之胃宿的证据是濮阳文化局所提供的一幅现场彩色照上蚌虎胃部或上腹部由贝壳组成的没有花蕊或空心的梅花形。这个蚌虎胃部的空心梅花在其他的现场照片甚至其复印件上也可以明显看到。在其他分辨率较低的照片或复印件上看来是由五、六枚贝壳组成的。图八就是一张彩色现场照片，请注意观察蚌虎的胃部或上腹部确有一由白色贝壳组成的空心梅花。图上用一个红色圆圈框着，它表示太阳在胃宿。
在所附的濮阳西水坡M45号墓平面图上，这朵梅花的位置正在东西向墓轴PC’上。但无论在《文物》1988年第三期或《中原文物》同年第一期的M45 平面图上都看不出蚌虎胃部的梅花，这可能是当时只注意到蚌塑龙虎的外形而忽略了其中蚌壳摆塑深层的天文学含义。
我认为，蚌虎胃部的梅花不太可能是胃宿的一颗亮星。除上文分析外，其理由是：现代星图上的胃宿及其附近还没有一颗恒星的亮度达到足以在虎胃作这样一个特殊的标志，天上的著名亮星如参宿四、参宿七、毕宿五都属西宫白虎象，蚌虎上均未如此明显的表现出来，当然蚌虎胃部的梅花就不可能是一颗恒星。我国著名的天文学家和天文史家伊世同先生认为：『就人类从天文到天文学的认识而言，大概可分为三个阶段：早期是重象不重星；中期是星与象并重；晚期是重星不重象。这里早期大体指史前』（《北斗祭 ━━ 对濮阳西水坡45号墓贝塑天文图的再思考》）。我的理解是：在史前时代人们是不会将某颗亮星以特别的符号标在星象图上的。反之，标在星象图上的就不是一般的恒星，而是对人类生活有更大影响的天体，这只可能是太阳，此即春分日躔胃宿。从而也说明这是春分日落时的星象。
以上计算都是假设了在所计算的时间内恒星的自行不变，黄经岁差和黄赤交角也保持不变。如在计算中只假设了黄经岁差的平均值为５０″或 49.8461″，而没有按公式（３）考虑远古时岁差与今值的巨大差别。还假设了古代的黄赤交角也与今值大致相同，即古、今值大约都为23.5°到40°之间。如按黄赤交角公式（２）计算，则公元前131300年的黄赤交角ε＝40°47′，因而那时的赤极的黄纬则应为49°13′。但由上述作图法可知，那时北极的黄纬仍为66.5°，与今值相差较少。由墓图实测也可得∠BP’P＝∠B’P’P＝24°00’，这正是六千五百年前的先民早已测得的黄赤交角。
由此我推想，无论黄赤交角计算公式（２）或黄经岁差公式（３），都是近几百年来精密天文观测的总结，它们只能在近几千或万把年内适用，对十万年以上的长期变化，则其可能是在某一平均值上下波动，而不会与今值偏离得太远；除非因地球受到其它小天体的撞击，而使地球的物理、力学参数发生激烈的突变。从第45号墓各项数据来看，在过去的十三万多年间，地球似乎没有明显地发生过这种激烈的突变，虽然在此期间地球的气候、地质等因素都在不断地变化中。以上妥否？敬请天文学及其他方面的专家指正。
十、测量第45号墓星象年代的两级时标
总之，测定Ｍ45墓星象年代或古天球的刻制年代的时标可分为二级：第一级是根据恒星自行所引起的斗魁形状的变化来测定，称为恒星自行级。在这一级时间范围内，如果人类要凭肉眼看到其明显变化，大约要经过数万年，这远远超过了人类有文字记录的历史年限。
第二级是由地轴的进动而引起的岁差来测定，即根据赤极在66.5°黄纬圈上或春分点在黄道上每年西移约50”来确定年代。如凭肉眼观察，在几百年内就可看出其显著变化；如果象宋代科学家沈括那样，用一具简单的仪器来观测，则在一百年内甚至几十年就可测出其变化值（详情请参阅沈括著 胡道静校证《梦溪笔谈》上册第295 页 卷七总第127 条）。由于这是地球的运动决定的，可称此为行星岁差级。
以上所测定古天球的刻制年代即第45号墓的星象年代为距今(133000±1000)年前，是将此二级都计算在内。分、至点绕黄道一周约 26000年，凡为此周期整数倍者，由恒星岁差级决定。这实际上是认为天赤极和春分点每隔二万六千年又回到天球原来的位置，而在经过一个周期後，北斗七星也因自行引致其形状明显变化。本文已算得ｎ＝５，就是说从古天球的刻制时至今，赤极已绕66.5°黄纬圈五周余或已经过了今黄经 136°线六次，此皆由北斗七星特别是四魁星的因自行引起其形状变化而得；也就是将墓中北斗与按自行规律推算而得的过去的北斗作形状的直观和数值比较而得。
不足二万六千年或其整数倍以上的余数，则由行星岁差级决定，即由天赤极所在位置的黄经度数 Ap 来确定。而第45号墓图的北极Ｐ在墓主的坐骨点是根据南面的弧形墓壁为春秋分日道(中衡)再用几何作图而求得。北赤极Ｐ的黄经度数 Ap 则是根据其在恒星间的相对位置来确定。其在恒星间的相对位置是根据墓中蚌塑星象图案与现代星图和中国传统古星图比较、测量而得。例如根据自行而算出133000年前北斗七星的坐标并标在现代星图上，然后在星图上测出Ｐ点的坐标；而后又用蚌虎胃宿在墓图中的位置与现代中国星图之胃宿比较而校正之。本文所测定的天北极位于黄经 136°即由此而得。与之相对应该墓在ｎ＝０时的星象年代为距今3300年前即由岁差算得。应该说，经用此两级时标测量所得之结果是可靠的。本文所取古天球年代的绝对误差±1000年是按北极移动±14°的岁差算得，这个角度已足够大了，虽然其相对误差仅±0.75％。因此用两级时标测得之星象年代的精度也较高。
如果我们再用时钟的分针和时针来比喻古天球的计时，则时针就相当于恒星自行级所指示的时间；而分针则相当于行星岁差级所指示的时间。如果我们只用时针来观测时间，其误差可达半小时，如再结合分针来观测时间，则其误差一般不会超过两分钟。用这种时钟来观测几小时的时间，其相对误差在１％以下就不足为奇了。可见，用自行结合岁差这两级时标来测定第45号的星象年代的方法是科学的、可靠的，其精度也比较高。
自然，在观测比较古、今北斗七星的形状变化时也可能出现误差，就好象时针与分针配合不准也可能有一个小时的误差一样，这相当于恒星自行级误差±26000 年，如将其考虑在内，则星象年代为距今(133000±26000) 年前，即十六万年到十万年前之间。因此本项研究的结论是西水坡仰韶文化遗址第45号墓的星象年代，即前面假设的古天球的刻制年代区间为距今(133000±1000)年前；其年代上限为距今十六万年前，下限为距今十万年前。
用日月星辰的运行来作为人类活动的历史时标，是人类进入文明的标志，这在中华传统文化中表现得尤其突出。『历史』一辞中的『历』就是指历法，这是由日月的运动决定的；『史』是指观测天象的官吏及其观测记录，也包括国家大事的记录。所以在我国史料中，天文观测记录非常详实丰富。现在看来，这种传统上可追溯到十三万年前对三角形北斗魁的观测和记录，我称这时期的人类文明为『中华古天球文明』。除濮阳西水坡遗址外，如商代甲骨文、《尚书》、《史记》等考古材料和史料中天文学都占有重要地位。可以说: 中华传统文化与中华古天球文明是一脉相承。鉴于天文学与历史学、考古学的这种特殊关系，不少学者已在这方面做了大量的工作。但由于人类有文字记录的历史充其量不过六千多年，这与恒星自行引起其相对位置显著变化的时间来是可忽略的，因而在这类研究中一般都不考虑自行。本文的特点就是在考古学及古史学研究中首次引入了恒星的自行从而得到以上结论，将人类的科学和文明史向前推进了十二万多年。
至于 6500 年前的濮阳人何以会摆塑出 133000 年前的星象这个至关重要的问题，即前面提出的Ｍ45矛盾，我将另文详解之。
注 释
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*本文的部分内容已于1993年七至十月在台北出版的《中华易学》月刊总第161至164期连载的拙文『从伏羲时代的星图研究到十三万三千年前天球的考古证实』中披露。这是修改补充後的部份文稿，尚未在大陆发表。有的数据也根据新的测算结果作了调整，这些数据将作为本项後续研究之基准。
①冯时:『河南濮阳西水坡４５号墓的天文学研究』,《文物》１９９０年第３期。
②冯时:『中国早期星象图研究』,《自然科学史研究》１９９０年第２期。
③恒星在一定年代 Ｔ 内的视位移总是与自行速率 Ｚ 成正比的数学证明如下：
今以ｌ为高纬度恒星在Ｔ年间的位移，则根据(7.1),(7.2)和(6.1),(6.2)可得：
ｌ＝√（Ｔ·Ｚy）２＋（Ｔ·Ｚx）２
＝Ｔ·√Ｚy２＋Ｚx２
＝Ｔ·√（Ｚw CosＧ－Ｚj SinＧ）２＋（Ｚw SinＧ＋Ｚj CosＧ）２
将上式根号内的两项平方展开，消去正、负抵消项後可得：
ｌ＝Ｔ·√Ｚw２（Cos２Ｇ＋Sin２Ｇ）＋Ｚj２（Sin２Ｇ＋Cos２Ｇ）
＝Ｔ·√Ｚj２＋Ｚw２＝Ｔ·Ｚ
这就证明了恒星自行的视距离与时间 Ｔ 成正比，与其自行速率 Ｚ 成正比。这是假设在 Ｔ 年内 Ｚ 不变而得。
以上数学推算是在平面直角坐标上进行的。此推算不在于证明本文方法的严密性，而在于说明远古人类观测和复制的三角形北斗魁在至少经过了两次变换後并没有多大的失真。第一次是将十三万三千年前天空的北斗形状刻画在球形石头上，第二次是在六千五百年前再由球面上十三万年前的星图变换成平面上的蚌塑北斗图。由表二中的数据看，要达到如此高的精度很可能是使用了测量工具和数值计算。这甚至使我猜想：第一次除了凭直观印象外还可能应用了仪器；第二次则可能应用已使用测量工具和数值计算。